原文：OpenAI — Ten advances in mathematics and theoretical computer science（2026-08-01）

OpenAI 今天发布了一组重磅成果：由 AI 系统在十个长期悬而未决的数学问题上前进了一步。这些问题的核心结论大多已经十年没有进展，其中好几个甚至搁置了数十年。

这一系列工作延续了 OpenAI 的既定路线——用工具加速科学发现。此前他们刚宣布了「ChatGPT for Academic Researchers」计划，为 10 万名科学家和数学家免费提供最好的 ChatGPT 模型；今年 5 月，他们还发布了一个 AI 生成的离散几何猜想的反例（Erdős 单位距离猜想），当时是在评估一个未发布模型时偶然发现的。而今天的十项成果，则是系统性地向一批”硬骨头”问题发起进攻的结果。

十项成果一览

这十个问题横跨高维几何、编码理论、算术电路复杂度、群论、算子代数、量子复杂度、格密码学与极值组合学。成果均由 OpenAI 下一代主模型 Astra 的内部版本完成，生成这些解决方案所需的全部 token，按 Sol API 价格计算大约只值 2000 美元——这个成本数字本身就很说明问题。

每一项论证随后由人类与同一模型协作整理成论文手稿，并全部用 Lean 证明助手做了形式化验证（代码已开源在 GitHub：github.com/openai/ten-proofs），同时附带了模型对自身思考过程的叙述。

01 高维球堆积（Sphere packing）

给出了球堆积密度的新上界，一直推进到 Cohn–Elkies 阈值。球堆积是几何与编码理论的核心问题——在给定空间中，球体最多能塞多密？这个问题在高维度的答案直接关系到纠错码的构造。

02 二元码与球面码（Binary and spherical codes）

在任意给定最小距离下，二元码最大规模的界得到了指数级的改进；对高维球面码也得到了类似结论。这直接冲击了编码理论的核心问题——信息在噪声信道中如何可靠传输的经典界限。

03 非 sofic 群（Non-sofic groups）

构造性地证明了非 sofic 群的存在，回应了群论中一个核心的开放问题。Sofic 群概念源于对”可近似有限群”的抽象，它与不动点性质、超积结构等一系列群论重大问题深度纠缠。

04 Connes 刚性猜想（Connes’s rigidity conjecture）

给出了一个长期猜想的反例。该猜想认为某些群可以仅由其 von Neumann 代数唯一确定。反例的给出意味着这一”刚性”假设不成立，算子代数领域的地基因此需要重新审视。

05 算术电路复杂度（Arithmetic circuit complexity）

给出了用算术电路与公式计算 permanent（积和式）的新下界，其中包括阶为 n⁴/log n 的算术公式下界。积和式是计算复杂度理论中的”圣杯”问题之一——Valiant 猜想它无法被多项式大小电路高效计算，这次的下界是实质性的推进。

06 量子并行重复（Quantum parallel repetition）

对一般双玩家量子博弈证明了指数级并行重复定理，把经典复杂性理论中的一个基本原理推广到了量子世界。这一结果对量子密码协议的安全性证明意义重大。

07 最近向量问题（Closest vector problem, CVP）

证明了最近向量问题的多项式因子近似困难性。CVP 是格密码学的基石问题——而后量子密码的安全性正建立在这些格问题的困难性之上。

08 Ehrhart 体积猜想（Ehrhart’s volume conjecture）

在所有维度上确定了：一个质心是其唯一内部格点的凸体，其体积的最大可能值。Ehrhart 理论连接了计数几何、离散几何与多胞形理论，这个结论终结了一个跨维度的公开问题。

09 多色 Ramsey 数（Multicolor Ramsey numbers）

给出了多色三角 Ramsey 数的超指数下界，解决了 Erdős 问题 183。Ramsey 理论是极值组合学的皇冠——”任何足够大的结构中必然包含有序子结构”，其多色版本的精确增长速率困扰了数学家半个多世纪。

10 极值数猜想（Extremal number conjectures）

在极值图论中证明了紧致性猜想与退化性猜想，解决了 Erdős 问题 146 和 180。极值图论研究”不包含某个子图时图最多能有多少条边”，是组合数学最富成果的分支之一。

对数学界的责任

AI 系统开始有能力参与数学研究，带来的问题不是任何一家科技公司能单独回答的。数学界对 AI 的角色存在多种看法，OpenAI 表示尊重包括 《莱顿 AI 与数学宣言》签署者在内的各种关切。

在署名问题上，OpenAI 的立场很明确：归属应当诚实地反映成果的产生方式——如果一个证明完全由 AI 系统生成，将其标为人类作者，既歪曲了系统的贡献，也贬低了真正的人类智力劳动。因此他们的做法是：人类参与撰写手稿、在 Lean 中形式化证明，并对正确性负责；而数学论证本身由系统生成。

OpenAI 希望数学社区能深入审视这些结果、把它们放回上下文语境中，并通过新的研究让这些想法真正”活”起来。随着 AI 演变为更成熟的研究伙伴，让更广泛的研究者能够使用这些工具，是支撑科学家和数学家在这一变革时代定义各自学科未来的基础。

后续涟漪：这些成果已经开始引发连锁反应

脚注显示，围绕 5 月那项 Erdős 单位距离猜想反例，后续研究已陆续出现，包括：

• The sum-product conjecture is false for real numbers（Bloom, Sawin, Schildkraut, Zhelezov）
• Split primes and the Elekes–Rónyai problem（Pohoata）
• Furthest Pair Requires Quadratic Time in Superconstant Dimension under SETH（Saha, Xu, Ye）
• Communication complexity of point-line incidences over the reals（Goh, Hatami）
• The Minkowski grid has robustly many repeated distances（Lee, Pohoata, Zhu）

一个反例，带出了一批新定理——这正是数学研究的生态：AI 给出的不一定是终点，而更可能是新起点的标志。